Question

已知函數在處有極小值，
（1）試求的值，并求出的單調區間．
（2）若關于的方程有3個不同實根，求實數a的取值范圍.

Answer 1

根據函數在某點處有極值的概念，可以知道在處導數為零。并且求解得到a,b的值，然后利用導數的正負號來解不等式，得到單調增減區間。第二問中，方程根的問題，可以通過分離參數的思想，來得到常函數與已知曲線有3個不同的交點問題來處理。
解：（1）函數f（x）=x³-3ax²+2bx的導數為f′（x）=3x²-6ax+2b
∵函數f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，∴f′（1）=0，f（1）=-1
即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=1/3，b=-1/2
∴f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1
令f′（x）=0，即3x²-2x-1=0，解得，x=-1/3，或x=1
又∵當x＞1時，f′（x）＞0，當-1/3＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＜-1/3時，f′（x）＞0，
∴函數在x=-13時有極大值為f（-1/3）=5/27
函數在x=1時有極小值為f（1）=-1
(3)要的方程有3個不同實根，則需滿足

略