Question

已知函數,
(1) 設（其中是的導函數）,求的最大值；
(2) 證明: 當時，求證：  ；
(3) 設,當時,不等式恒成立,求的最大值

Answer 1

(1),
所以 ．
當時，；當時，．
因此，在上單調遞增，在上單調遞減．
因此，當時，取得最大值；
（2）當時，．
由（1）知：當時，，即．
因此，有．
（3）不等式化為
所以對任意恒成立．
令，則，
令，
則，
所以函數在上單調遞增．
因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．
所以．
故整數的最大值是．

略