Question

已知函數f（x）=Asin（3x+φ） （ A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π ） 在x=時取得最大值4．
（1）求函數f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函數f（x）的單調增區間；
（3）求函數f（x）在上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據y=Asin（ωx+∅）的最小正周期的求法求得此函數的最小正周期．由函數的最大值求A，根據函數在x=時取得最大值4，求得φ，從而得到函數的解析式．
（2）令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可到函數f（x）的單調增區間．
（3）根據x∈，結合正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在上的值域．
解答：解：（1）∵函數f（x）=Asin（3x+φ），故函數的最小正周期為T=．
由函數的最大值為4可得A=4，
由函數在x=時取得最大值4可得 4sin（3×+φ）=4，故 +φ=2kπ+，k∈z．
結合0＜φ＜π，可得 φ=．
綜上，函數f（x）=4sin（3x+）．
（2）令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得≤-≤x≤+，
故函數f（x）的單調增區間為[-，+]，k∈z．
（3）∵x∈，∴3x+∈[，]，∴sin（3x+）∈[-，1]，
故4sin（3x+）∈[-2，4]．
故函數f（x）在上的值域為[-2，4]．
點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+∅）的最小正周期、單調性、定義域和值域，屬于中檔題．