Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸一個端點到上焦點的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-2，0）作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，直線m是過點(-

4

17

，0)，且以

a

=（0，1）為方向向量的直線，設N是直線m上一動點，滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為坐標原點）．問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 a2=4

，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由已知可得直線m：x=-

4

17

，設N(-

4

17

，t)，設直線l：y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能夠導出存在y=±

1

2

(x+2)使得四邊形OANB為矩形．

解答：解：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 a2=b2+c2=22=4

?

a=2 c= 3 b=1

  ∴橢圓的標準方程為

y2

4

+x2=1；
（Ⅱ）由已知可得直線m：x=-

4

17

，設N(-

4

17

，t)
設直線l：y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y=k(x+2) y2 4 +x2=1

?(4+k2)x2+4k2x+4k2-4=0，△＞0?-

2 2

3

＜k＜

2 2

3

x1+x2=-

4k2

4+k2

=-

4

17

?k=±

1

2

此時

OA

•

OB

=0，所以存在y=±

1

2

(x+2)使得四邊形OANB為矩形．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意提高運算能力和解題技巧．