Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率e滿足3， 

1

e

， 

4

9

成等比數列，且橢圓上的點到焦點的最短距離為2-

3

．過點（2，0）作直線l交橢圓于點A，B．
（1）若AB的中點C在y=4x（x≠0）上，求直線l的方程；
（2）設橢圓中心為，問是否存在直線l，使得的面積滿足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的幾何性質及等比數列得出關于a，c的方程，解得a，c的值從而求出橢圓的方程．再結合點差法求直線l的斜率，從而得出直線l的方程；
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用條件等式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（1）

e2= c2 a2 = 3 4 a-c=2- 3

…（2分），
∴

a=2 c= 3

橢圓方程：

y2

4

+x2=1…（4分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為C（x₀，y₀），
則有：

y 2 1 4 + x 2 1 =1 y 2 2 4 + x 2 2 =1

⇒

(y1-y2)(y1+y2)

4

+(x1-x2)(x1+x2)=0
⇒

x0

1

+

y0

4

×k=0⇒k=-

4x0

y0

=-1
∴直線l的方程為y=-x+2…（6分），經檢驗y=-x+2適合題意．…（6分）
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可設直線l的方程為y=k（x-2）
代入橢圓方程可得：

x1+x2= 4k2 k2+4 x1•x2= 4k2-4 k2+4

…（9分）
2S_△AOB=|OA|•|OB|⇒x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，…（11分），
經檢驗y=±

1

2

(x-2)適合題意…（12分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質、等比數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想．屬于基礎題．