Question

（2013•浙江）如圖，在四面體A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小為60°，求∠BDC的大小．

Answer 1

（1）見解析     （2）60°

（1）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ
∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD
∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點
∴OP∥DM，且OP=DM，結合M為AD中點得：OP∥AD且OP=AD
∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形
∴PQ∥OF
∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD；
（2）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH
∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內的相交直線
∴CG⊥平面ABD，結合BM?平面ABD，得CG⊥BM
∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內的相交直線
∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH
因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°
設∠BDC=θ，可得
Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin²θ
Rt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==
∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°