Question

已知函數，．

(Ⅰ)當b＝0時，若f(x)在[2，＋∞)上單調遞增，求a的取值范圍；

(Ⅱ)求滿足下列條件的所有實數對(a，b)：當a是整數時，存在x₀，使得f(x₀)是f(x)的最大值，g(x₀)是g(x)的最小值；

(Ⅲ)對滿足(Ⅱ)的條件的一個實數對(a，b)，試構造一個定義在，且上的函數h(x)，使當x∈(－2，0)時，h(x)＝f(x)，當x∈D時，h(x)取得最大值的自變量的值構成以x₀為首項的等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)當b＝0時，f(x)＝ax2－4x， 　　若a＝0，f(x)＝－4x，則f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，不符題意． 　　故a≠0，要使f(x)在[2，＋∞)上單調遞增，必須滿足，∴a≥1． 　　(Ⅱ)若a＝0，，則f(x)無最大值，故a≠0，∴f(x)為二次函數． 　　要使f(x)有最大值，必須滿足即a＜0，且． 　　此時，時，f(x)有最大值． 　　又g(x)取最小值時，x＝x0＝a，依題意，有， 　　則． 　　∵a＜0，且，∴，得a＝－1，此時b＝－1或b＝3． 　　∴滿足條件的實數對(a，b)是(－1，－1)，(－1，3)． 　　(Ⅲ)當實數對(a，b)是(－1，－1)，(－1，3)時，． 　　依題意，只需構造以2(或2的正整數倍)為周期的周期函數即可． 　　如對，， 　　此時，， 　　故．