Question

已知函數y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點(

11π

6

，-1)．
（Ⅰ）如果x=0時，y=-

3

2

，求a，b，c．
（Ⅱ）如果將圖象上每個點的縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的

3

π

，然后將所得圖象向左平移一個單位得到y=f（x）的圖象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成為一個公差為3的等差數列，求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式對函數解析式化簡整理，把最低點坐標代入求得φ和a，b和c的關系，表示出函數的解析式，把x=0代入即可求得a，b和c．
（Ⅱ）依據題意可求得變換后函數的解析式，進而可知方程f（x）=3的正根就是直線y=3與y=f（x）的圖象交點的橫坐標，通過它們成等差數列，判斷出直線y=3滿足以上要求只能有三個位置：一是過圖象最高點且和x軸平行的直線l₁，二是過圖象最低點且和x軸平行的直線l₂，三是和l₁、l₂平行且等距的直線l₃，根據最低點排除l₂．假若直線y=3在l₁，交點間隔為一個周期6，即正根的公差為6，不合題意，所以y=3只能在l₃位置，求得c，則函數的解析式求得正根檢驗后符合題意，函數的解析式可得．

解答：解：（Ⅰ）原函數可化為y=

a2+b2

sin(x+φ)+c
（其中φ為輔助角，滿足cosφ=

a

a2+b2

，且sinφ=

b

a2+b2

），
因為(

11π

6

，-1)是它的最低點，
所以

11π 6 +φ=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=-1

，
解得φ=2kπ-

7π

3

(k∈Z)且

a2+b2

=c+1．
所以y=(c+1)sin(x-

π

3

)+c．
又x=0時，y=-

3

2

，所以c=0，b=-

3

2

，a=

1

2

；
（Ⅱ）因為y=(c+1)sin(x-

π

3

)+c，
按題給變換后得f(x)=(c+1)sin

π

3

x+c
方程f（x）=3的正根就是直線y=3與y=f（x）的圖象交點的橫坐標，
它們成等差數列，即y=3與y=f（x）相鄰交點間的距離都相等．
直線y=3滿足以上要求只能有三個位置：
一是過圖象最高點且和x軸平行的直線l₁，
二是過圖象最低點且和x軸平行的直線l₂，
三是和l₁、l₂平行且等距的直線l₃，而圖象最低點為(

11π

6

，-1)，
故不可能是l₂．假若直線y=3在l₁，交點間隔為一個周期6，
即正根的公差為6，不合題意，所以y=3只能在l₃位置，
所以c=3，f(x)=4sin

π

3

x+3，此時由sin

π

3

x=0得x=3k，
正根可組成一個公差為3的等差數列，符合題意．
∴f(x)=4sin

π

3

x+3．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，等差數列的應用，三角函數的圖象變換．考查了學生分析問題的能力和推理能力．