【題目】已知拋物線
：
，圓
：
.
（1）若過拋物線的焦點
的直線
與圓相切，求直線方程；
（2）在（1）的條件下，若直線交拋物線于
，
兩點，
軸上是否存在點
使
（
為坐標原點）？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）切線方程為
或
.（2）見解析
【解析】
（1）先求得拋物線的焦點，根據點斜式設出直線
的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的方程.（2）聯立直線的方程和拋物線的方程，化簡后寫出韋達定理，根據
，則
列方程，解方程求得
的值，進而求得
點的坐標.
解：（1）由題知拋物線
的焦點為
，
當直線的斜率不存在時，過點的直線不可能與圓
相切；
所以過拋物線焦點與圓相切的直線的斜率存在，
設直線斜率為
，則所求的直線方程為
，即
，
所以圓心到直線的距離為
，
當直線與圓相切時，有
，
所以所求的切線方程為
或
.
（2）由（1）知，不妨設直線：，交拋物線于
，
兩點，
聯立方程組
，
所以
，
，
假設存在點
使，
則.
而
，
，
所以
，
即
，
故存在點
符合條件.
當直線：時，
由對稱性易知點也符合條件.
綜合可知在（1）的條件下，存在點使.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國的“洋垃極禁止入境”政策已實施一年多
某沿海地區的海岸線為一段圓弧AB，對應的圓心角
，該地區為打擊洋垃圾走私，在海岸線外側20海里內的海域ABCD對不明船只進行識別查證
如圖：其中海域與陸地近似看作在同一平面內
在圓弧的兩端點A，B分別建有監測站，A與B之間的直線距離為100海里．
求海域ABCD的面積；
現海上P點處有一艘不明船只，在A點測得其距A點40海里，在B點測得其距B點
海里判斷這艘不明船只是否進入了海域ABCD？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）當
時，若函數
的導函數
的圖象與
軸交于
， 
兩點，其橫坐標分別為
， 
，線段
的中點的橫坐標為
，且
， 
恰為函數
的零點，求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為等差數列，前
項和為
，
是首項為
的等比數列，且公比大于
，
，
，
.
（1）求和的通項公式；
（2）求數列
的前項和
；
（3）設
，
為數列
的前項和，求不超過
的最大整數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
，點
為直線
上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為
，
，
（1）證明，，三點的縱坐標成等差數列；
（2）已知當點坐標為
時，
，求此時拋物線的方程；
（3）是否存在點，使得點
關于直線
的對稱點
在拋物線上，其中點滿足
，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知三棱柱
的側棱與底面垂直，
，
，M是
的中點，
是
的中點，點
在
上，且滿足
.
（1）證明：
.
（2）當
取何值時，直線
與平面
所成的角
最大？并求該角最大值的正切值.
（3）若平面
與平面所成的二面角為
，試確定P點的位置.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中
， 
， 
，
，現將三角板
沿
折起，使
在平面
上的射影
恰好在
上，如圖乙．
（1）求證： 
；
（2）求證： 
為線段
中點；
（3）求二面角
的大小的正弦值．
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