Question

如圖，已知四棱臺ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的側棱A₁A垂直于底面AB﹣CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁=2．
（1）求證：平面A₁ACC₁丄平面B₁BDD₁
（2）求四棱錐A﹣CDD₁C₁的體積．

Answer 1

解：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁，
又底面ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩AA₁=A，AC平面A₁ACC₁，AA₁平面A₁ACC₁，
∴BD⊥平面A₁ACC₁．而BD平面B₁BDC₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）過點A作AH⊥DD₁，交DD₁于點H．
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴平面A₁ADD₁⊥平面ABCD．
又平面CDD₁C₁∩平面ABCD=AD，CD⊥AD．
∴CD⊥平面A₁ADD₁，
∵平面CDD₁C₁∩平面A₁ADD₁=DD₁．
∴AH⊥平面CDD₁C₁．
在直角梯形A₁ADD₁中，A₁D₁=1，D₁D=2．AD=2．
∴AH=．
∵CD⊥平面A₁ADD₁．CD⊥DD₁．
∴四邊形CDD₁C₁為直角梯形，
∵C₁D₁=1．CD=D₁D=2．
∴四邊形CDD₁C₁的面積S=3．
∴四棱錐A﹣CDD₁C₁的體積．