Question

如圖，已知四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱A₁A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁=2．
（1）求證：平面A₁ACC₁丄平面B₁BDD₁
（2）求四棱錐A-CDD₁C₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明BD⊥AC，然后證明BD⊥平面A₁ACC₁．即可證明平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）過點A作AH⊥DD₁，交DD₁于點H．證明CD⊥平面A₁ADD₁，判斷四邊形CDD₁C₁為直角梯形，然后求出四棱錐A-CDD₁C₁的體積．
解答：解：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁，
又底面ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩AA₁=A，AC?平面A₁ACC₁，AA₁?平面A₁ACC₁，
∴BD⊥平面A₁ACC₁．而BD?平面B₁BDC₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）過點A作AH⊥DD₁，交DD₁于點H．
∵AA₁⊥平面ABCD，∴平面A₁ADD₁⊥平面ABCD．
又平面CDD₁C₁∩平面ABCD=AD，CD⊥AD．
∴CD⊥平面A₁ADD₁，∵平面CDD₁C₁∩平面A₁ADD₁=DD₁．
∴AH⊥平面CDD₁C₁．在直角梯形A₁ADD₁中，A₁D₁=1，D₁D=2．AD=2．
∴AH=．∵CD⊥平面A₁ADD₁．CD⊥DD₁．∴四邊形CDD₁C₁為直角梯形，
∵C₁D₁=1．CD=D₁D=2．∴四邊形CDD₁C₁的面積S=3．
∴四棱錐A-CDD₁C₁的體積．
點評：本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．