Question

△ABC中，銳角A的對邊長等于2，向量

m

=（1，

3

（2cos²A-1）），向量

n

=（-1，sin2A）．
（Ⅰ）若向量

m

∥

n

，求銳角A的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據

m

∥

n

，利用兩向量的坐標以及平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，利用特殊角的三角函數值即可求出銳角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，
∴sin2A+

3

cos2A=0，
即2（

1

2

sin2A+

3

2

cos2A）=sin（2A+

π

3

）=0，
∵A為銳角，
∴2A+

π

3

=π，即A=

π

3

；
（Ⅱ）設角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，
由余弦定理，得 b²+c²-a²=2bccosA，
即bc+4=b²+c²≥2bc，
所以bc≤4，當且僅當b=c=2時取等號，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，
當且僅當a=b=c=2時，△ABC的面積最大為

3

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．