Question

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知cos2C=-

3

4

．
（1）求sinC；
（2）當c=2a，且b=3

7

時，求a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式cos2C=1-2sin²C求解即可，注意隱含條件sinC＞0；
（Ⅱ）利用（1）中的結論，結合正弦定理和同角三角函數的關系易得sinA，cosA，cosC的值，又由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得1-2sin2C=-

3

4

．所以sin2C=

7

8

．
因為在△ABC中，sinC＞0，
所以sinC=

14

4

．（6分）
（Ⅱ）因為c=2a，所以sinA=

1

2

sinC=

14

8

．
因為△ABC是銳角三角形，所以cosC=

2

4

，cosA=

5 2

8

．
所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

14

8

×

2

4

+

5 2

8

×

14

4

=

3 7

8

．
由正弦定理可得：

3 7

sinB

=

a

sinA

，所以a=

14

．（13分）

點評：此類問題是高考的常考題型，主要考查了正弦定理、三角函數及三角恒等變換等知識點，同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變形的技能．