Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，-3），B（4，-1），P（a，0），N（a+1，0），若四邊形PABN的周長(zhǎng)最小，則a=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出各點(diǎn)間的距離是解決本題的關(guān)鍵，將四邊形的周長(zhǎng)表示為a的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的最值的求解方法，求出使得該四邊形周長(zhǎng)最小的a值．

解答：解：四邊形PABN的周長(zhǎng)c=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+9

+

13

+

(a-3)2+1

+1，只需求出

(a-1)2+9

+

(a-3)2+1

的最小值時(shí)的a值．
由于

(a-1)2+9

+

(a-3)2+1

=

(a-1)2+(0-3)2

+

(a-3)2+(0-1)2

，表示x軸上的點(diǎn)（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和，只需該距離之和最小即可，
利用對(duì)稱的思想，該距離的最小值為（1，-3）與（3，1）間的距離，
取得最小的a值為（1，-3）與（3，1）確定的直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
求出過(guò)（1，-3）與（3，1）的直線方程為y=2x-5，
令y=0，得出所求的a值為

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查無(wú)理函數(shù)的最小值的求法，考查學(xué)生求無(wú)理函數(shù)最值的轉(zhuǎn)化方法，關(guān)鍵要找準(zhǔn)無(wú)理函數(shù)所表示的式子的幾何意義，考查學(xué)生的對(duì)稱思想和求直線方程的基本思路．