Question

【題目】已知函數f（x）=2sin2（ +x）+ （sin2x﹣cos2x），x∈[ ， ]．
（1）求 的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：
（2）解： = ．

又 ，

∴ ，

當 時，f（x）單調遞增；

當 時，f（x）單調遞減，

所以f（x）的單調遞增區間是 ；

f（x）的單調遞減區間是

（3）解：由（2）得 ，

∴f（x）的值域是[2，3]．

|f（x）﹣m|＜2f（x）﹣2＜m＜f（x）+2， ．

∴m＞f（x）max﹣2且 m＜f（x）min+2，

∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）

【解析】（1）根據所給的解析式，代入所給的自變量的值，計算出結果，本題也可以先化簡再代入數值進行運算．（2）把所給的三角函數的解析式進行恒等變形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根據正弦曲線的單調性寫出ωx+φ所在的區間，解出不等式即可．（3）根據前面整理出來的結果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，解出關于絕對值的不等式，求出結果．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角函數的最值(函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，)．