Question

設函數f(x)定義在R上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當x＞0時，0＜f(x)＜1.

(1)求證: f(0)=1，且當x＜0時，f(x)＞1；

(2)求證:f(x)在R上單調遞減；

(3)設集合A={ (x，y)|f(x²)·f(y²)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范圍.

Answer 1

(1) 證明略(2)證明略(3) a∈［－，］

解析:

令m＞0，n=0得  f(m)=f(m)·f(0). ∵f(m)≠0，∴f(0)=1

取m=m，n=－m，(m＜0)，得f(0)=f(m)f(－m)

∴f(m)=，∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1

(2)證明:任取x₁，x₂∈R，則f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)－f［(x₂－x₁)+x₁］

=f(x₁)－f(x₂－x₁)·f(x₁)=f(x₁)［1－f(x₂－x₁)］，

∵f(x₁)＞0，1－f(x₂－x₁)＞0，∴f(x₁)＞f(x₂)，

∴函數f(x)在R上為單調減函數.

(3)由，

由題意此不等式組無解，數形結合得:≥1，解得a²≤3

∴a∈［－，］