Question

設函數f(x)定義在（0，+∞）上，f(1)=0，導函數，g(x)=f(x)+f′(x)，
（Ⅰ）求g(x)的單調區間和最小值；
（Ⅱ）討論g(x)與的大小關系；
（Ⅲ）是否存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x₀)|＜對任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設易知f(x)=lnx，，
∴，令g′(x)=0得x=1，
當x∈（0，1）時，g′(x)＜0，故（0，1）是g(x)的單調減區間；
當x∈(1，+∞)時，g′(x)＞0，故(1，+∞)是g(x)的單調增區間，
因此，x=1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，
所以最小值為g(1)=1。
（Ⅱ），
設，則，
當x=1時，h(1)=0，即，
當時，，，
因此，h(x)在(0，+∞)內單調遞減；
當0＜x＜1時，，即；
當x＞1時，，即；
（Ⅲ）滿足條件的x₀不存在；
證明如下：假設存在，使對任意x＞0成立，
即對任意x＞0，有，（*）
但對上述，取時，有，這與(*)左邊不等式矛盾；
因此，不存在，使對任意x＞0成立。