Question

【題目】（理科答）已知數列{an}及等差數列{bn}，若a1=3，an= an﹣1+1（n≥2），a1=b2 ， 2a3+a2=b4 ，
（1）證明數列{an﹣2}為等比數列；
（2）求數列{an}及數列{bn}的通項公式；
（3）設數列{anbn}的前n項和為Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：a1=3，an= an﹣1+1（n≥2），

an﹣2= （an﹣1﹣2），

則數列{an﹣2}為首項為1，公比為 的等比數列

（2）解：（由（1）可得an﹣2=（ ）n﹣1，

即為an=2+（ ）n﹣1，

a1=b2=3，

2a3+a2=b4=2（2+ ）+2+ =7，

可得等差數列{bn}的公差d= =2，

則bn=b2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1

（3）證明：數列{anbn}的前n項和為Tn，

anbn=[2+（ ）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）（ ）n﹣1，

設Sn=1（ ）0+3（ ）+5（ ）2+…+（2n﹣1）（ ）n﹣1，

Sn=1（ ）+3（ ）2+5（ ）3+…+（2n﹣1）（ ）n，

相減可得， Sn=1+2[（ ）+（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1]﹣（2n﹣1）（ ）n

=1+2[ ]﹣（2n﹣1）（ ）n，

化簡可得Sn=6﹣ ，

則Tn=2 n（1+2n﹣1）+6﹣ =2n2+6﹣

【解析】（1）an= an﹣1+1的兩邊減2，再由等比數列的定義即可得證；（2）運用等比數列和等差數列的通項公式，計算即可得到；（3）求得anbn=[2+（ ）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）（ ）n﹣1 ， 再由數列的求和方法：分組求和和錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．