Question

【題目】已知數列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），滿足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0
（1）令cn= ，證明數列{cn}是等差數列，并求{cn}的通項公式
（2）若bn=2n﹣1 ， 求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，得

=1，

因為cn= ，

所以cn+1﹣cn=1，

所以數列{cn}是等差數列，所以{cn}=n

（2）由bn=2n﹣1得an=n2n﹣1，

所以Sn=1×20+2×21+3×22+…+n2n﹣1，①

2Sn=1×21+2×22+3×33+…+n2n，②

由②﹣①，得Sn=2n（n﹣1）+1

【解析】（1）數列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），滿足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，又cn= ，可得cn+1﹣cn=1，即可證明；（2）利用錯位相減法求和即可．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．