Question

已知平面上的動點P（x，y）及兩個定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K₁，K₂且K₁K₂=－
(1).求動點P的軌跡C方程；
(2).設直線L：y=kx+m與曲線C交于不同兩點，M，N，當OM⊥ON時，求O點到直線L的距離（O為坐標原點）

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、向量的運算、點到直線的距離公式等基礎知識，意在考查考生的運算求解能力、推理論證能力以及利用解析法、函數與方程思想的解題能力.第一問，利用P、A、B點的坐標，先求出代入到中整理出x，y的關系，即點P的軌跡方程；第二問，設出M、N坐標，令直線與橢圓方程聯立，消參得到關于x的方程，由于交于M、N兩個點，所以，利用韋達定理，得，，由，利用向量的垂直的充要條件得到的關系式，利用點到直線的距離公式，利用上述的關系式得到數值.
試題解析：（1）設，由已知得，
整理得，即   4分
（2）設M
消去得：
由得
   8分
∵∴
即
∴
∴滿足   10分
∴點到的距離為即
∴   12分
考點：橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、向量的運算、點到直線的距離公式