Question

【題目】已知.

（1）求函數的單調區間；

（2）若對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域和導數，對分和兩種情況，分析在上的符號，可得出函數的單調區間；

（2）由，轉化為，構造函數，且有，問題轉化為，對函數求導，分析函數的單調性，結合不等式求出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，.

①當時，對任意的，，此時，函數的單調遞減區間為；

②當時，令，得；令，得.

此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（2），即，得，

又，不等式兩邊同時除以，得，即.

易知，由題意可知對任意的恒成立，.

①若，則當時，，，此時，

此時，函數在上單調遞減，則，不合乎題意；

②若，對于方程.

（i）當時，即，恒成立，

此時，函數在上單調遞增，則有，合乎題意；

（ii）當時，即時，

設方程的兩個不等實根分別為、，且，

則，，所以，，，.

當時，；當時，，，不合乎題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.