Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常數p＞2．
（1）證明：數列{a_n+1}為等比數列；
（2）若a₂=3，求數列{a_n}的通項公式；
（3）對于（2）中數列{a_n}，若數列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k與b_k+1之間插入2^k-1（k∈N^*）個2，得到一個新的數列{c_n}，試問：是否存在正整數m，使得數列{c_n}的前m項的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把S_n和S_n+1相減整理求得2a_n+1=pa_n+1-pa_n-2，整理出1+a_n+1=

p

p-2

（1+a_n），判斷出數列{1+a_n}是首項為

2

p-2

+1，公比為

p

p-2

的等比數列，證得數列{a_n+1}為等比數列．
（2）先根據a₂=3求出p的值，然后利用等比數列求出數列{a_n}的通項公式；
（3）先求出b_n，然后求出數列C_n中，b_k（含b_k項）前的所有項的和，當k=10時，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2011，當k=11時，其和是66+2¹¹-2=2112＞2011，又因為2011-1077=934=467×2，是2的倍數，所以當m=10+（1+2+2²++2⁸）+467=988時，T_m=2011，所以存在m=988使得T_m=2011．

解答：解：（1）∵2S_n=pa_n-2n，∴2S_n+1=pa_n+1-2（n+1），∴2a_n+1=pa_n+1-pa_n-2，
∴an+1=

p

p-2

an+

2

p-2

，∴an+1+1=

p

p-2

(an+1)，
∵2a₁=pa₁-2，∴a1=

2

p-2

＞0，∴a₁+1＞0
∴

an+1+1

an+1

=

p

p-2

≠0，∴數列{a_n+1}為等比數列．
（2）由（1）知an+1=(

p

p-2

)n，∴an=(

p

p-2

)n-1（8分）
又∵a₂=3，∴

p

p-2

×

p

p-2

-1=3，∴p=4，∴a_n=2ⁿ-1（10分）
（3）由（2）得b_n=log₂2ⁿ，即b_n=n，（n∈N^*），
數列C_n中，b_k（含b_k項）前的所有項的和是：(1+2+3+…+k)+(20+21+22+…+2k-2)×2=

k(k+1)

2

+2k-2
當k=10時，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2011
當k=11時，其和是66+2¹¹-2=2112＞2011
又因為2011-1077=934=467×2，是2的倍數，
所以當m=10+（1+2+2²++2⁸）+467=988時，T_m=2011，
所以存在m=988使得T_m=2011．

點評：本題主要考查了數列與函數的綜合應用，同時考查了等比數列的通項公式化簡求值，以及存在性問題，是一道比較難的題．