Question

有一系列函數，如果它們解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這一系列函數為“同族函數”．那么函數的解析式為y=x²，值域為{1，2}的同族函數有

9

個；若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數的值域，設a_n表示該函數的同族函數的個數，則a₁+a₂+…+a_n=

3(3n-1)

2

．

Answer 1

分析：若函數的解析式為y=x²，值域為{1，2}時，首先分析出其定義域中可能有的元素為±1和±

2

，進而對1或-1、

2

或-

2

分別分析可得其可能的情況數目，由分步計數原理計算可得答案；當集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數的值域時，其定義域中可能有的元素有±1、±

2

、±

3

、±2、…±

n

，且每對相反數至少有一個，進而對每對相反數依次分析可得其可能的情況數目，由分步計數原理計算可得a_n的值，即可得{a_n}為等比數列，再用等比數列前n和公式求出a₁+a₂+…+a_n的值．

解答：解：根據題意，若函數的解析式為y=x²，值域為{1，2}；則可能在其定義域中的元素有±1和±

2

，且每對相反數至少有一個，
對于元素1或-1，兩個中任取一個或全部都取，有3種情況；
對于元素

2

或-

2

，兩個中任取一個或全部都取，有3種情況；
則當函數y=x²，值域為{1，2}時的同族函數有3×3=9個；
若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數的值域，
則其定義域中可能有的元素有±1、±

2

、±

3

、±2、…±

n

，且每組至少有一個，
對于元素1或-1，兩個中任取一個或全部都取，有3種情況；
對于元素

2

或-

2

，兩個中任取一個或全部都取，有3種情況；
…
對于元素

n

或-

n

，兩個中任取一個或全部都取，有3種情況；
則a_n=3×3×…×3=3ⁿ，
故a₁+a₂+…+a_n=

3(1-3n)

1-3

=

3(3n-1)

2

；
故答案為9，

3(3n-1)

2

．

點評：本題考查函數的定義、數列的求和以及分步計數原理的運用，解題的難點在于利用分步計數原理分析出a_n=3ⁿ，進而由等比數列前n和公式求出答案．