Question

【題目】在平面直角坐標系中，動點到定點的距離與它到直線的距離相等．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設動直線與曲線相切于點，與直線相交于點．

證明：以為直徑的圓恒過軸上某定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設出動點的坐標為，然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；（2）設出直線的方程為： （），聯立直線方程和拋物線方程化為關于的一元二次方程后由判別式等于得到與的關系，求出的坐標，求出切點坐標，再設出的坐標，然后由向量的數量積為0證得答案，并求得的坐標．

試題解析：（1）解：設動點E的坐標為，

由拋物線定義知，動點E的軌跡是以為焦點， 為準線的拋物線，

所以動點E的軌跡C的方程為．

（2）證明：由，消去得： ．

因為直線l與拋物線相切，所以，即．

所以直線l的方程為．

令，得．所以Q．

設切點坐標，則，

解得： ， 設，

所以當，即，所以

所以以PQ為直徑的圓恒過軸上定點．