Question

【題目】求下列曲線的標準方程：
（1）與橢圓x2+4y2=16有相同焦點，過點p（ ， ），求此橢圓標準方程；
（2）求以原點為頂點，以坐標軸為對稱軸，且焦點在直線3x﹣4y﹣12=0的拋物線的標準方程．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵橢圓x2+4y2=16，∴，其焦點坐標為（，0），
設所求橢圓方程為，（a＞b＞0），其焦點坐標為（，0），
∴c2=12=a2﹣b2 ， ①
又∵橢圓過點P（，），∴=1，②
解①②組成的方程組得，
∴橢圓方程為．
（2）∵拋物線的焦點在直線3x﹣4y﹣12=0上，
∴焦點坐標為（0，﹣3）或（4，0）．
當焦點（0，﹣3）時，
設拋物線方程為x2=﹣2py，=3，p=6拋物線方程為x2=﹣12y，
當焦點（4，0）時，
設拋物線方程為y2=2px，=4，p=8拋物線方程為y2=16x．
∴拋物線方程為y2=16x或x2=﹣12y．
【解析】（1）所求橢圓方程為 ， （a＞b＞0），其焦點坐標為（ ， 0），再由橢圓過點P（ ， ），能求出a，b，從而能求出橢圓方程．
（2）由拋物線的焦點在直線3x﹣4y﹣12=0上，得焦點坐標為（0，﹣3）或（4，0），由此能求出拋物線方程．