Question

【題目】已知數(shù)列，且為該數(shù)列的前項和.

（1）寫出數(shù)列的通項公式；

（2）計算，猜想的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（3）求數(shù)列的前項和的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見詳解；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意直接寫出的通項公式；（2），由求得，同理求得.接著猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗n=1時，猜想成立；假設(shè)，則當n=k+1時，由條件可得當n=k+1時，也成立，從而猜想仍然成立.（3）對的表達式進行變形化簡，利用求函數(shù)值域的方法即可求得.

（1）根據(jù)題意可得；

（2）；

；

；

可以看到，上面表示四個結(jié)果的分數(shù)中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為.于是可以猜想.

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.

①當時，左邊，

右邊，猜想成立.

②假設(shè)當時猜想成立，即

.

所以，當時猜想也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知猜想對任何都成立.

（3）由（2）知，因為，所以，

則，即，

所以.