Question

（1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？

（2）一扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？

 

Answer 1

（1）π﹣2，65°26′，（π﹣2）r2．

（2）當α=2rad時，扇形的面積取最大值．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)扇形的圓心角，利用弧長公式得到弧長，代入題中條件，求出圓心角的弧度數(shù)，再化為度數(shù)，利用扇形的面積公式求扇形的面積．

（2）設(shè)出弧長和半徑，由周長得到弧長和半徑的關(guān)系，再把弧長和半徑的關(guān)系代入扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑的二次函數(shù)，配方求出面積的最大值．

【解析】
（1）設(shè)扇形的圓心角是θrad，因為扇形的弧長是rθ，

所以扇形的周長是2r+rθ．依題意，得2r+rθ=πr，

∴θ=π﹣2=（π﹣2）×≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，

∴扇形的面積為S=r2θ=（π﹣2）r2．

（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20，

即l=20﹣2r（0＜r＜10）①

扇形的面積S=lr，將①代入，得S=（20﹣2r）r=﹣r2+10r=﹣（r﹣5）2+25，

所以當且僅當r=5時，S有最大值25．此時

l=20﹣2×5=10，α==2．所以當α=2rad時，扇形的面積取最大值．