Question

在極坐標系中，曲線C₁方程為ρ=2sin（θ+

π

3

），曲線C₂：方程為ρsin（θ+

π

3

）=4．以極點O為原點，極軸方向為x軸正向建立直角坐標系xOy．
（1）求曲線C₁，C₂的直角坐標方程；
（2）設A、B分別是C₁，C₂上的動點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先將曲線C₁及曲線C₂的極坐標方程展開，然后再利用公式

x=ρcosθ y=ρsicθ

，即可把極坐標方程化為普通方程．
（2）可先求出圓心到直線的距離，再減去其半徑即為所求的最小值．

解答：解：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標方程化為ρ=sinθ+

3

cosθ，
兩邊同乘以ρ，得ρ²=ρsinθ+

3

ρcosθ，
則曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=y+

3

x，即x²+y²-

3

x-y=0．
曲線C₂的極坐標方程化為

1

2

ρsinθ+

3

2

ρcosθ=4，
則曲線C₂的直角坐標方程為

1

2

y+

3

2

x=4，即

3

x+y-8=0．
（Ⅱ）將曲線C₁的直角坐標方程化為（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²=1，
它表示以（

3

2

，

1

2

）為圓心，以1為半徑的圓．
該圓圓心到曲線C₂即直線

3

x+y-8=0的距離
d=

| 3 × 3 2 + 1 2 -8|

2

=3，
所以|AB|的最小值為3-1=2．

點評：掌握極坐標方程化為普通方程的公式和點到直線的距離公式及轉化思想是解題的關鍵．