Question

設橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）11

【解析】

試題分析：

（1）根據題意求出的坐標與A點的坐標，帶入式子，即可求出a的值，進而得到橢圓M的方程.

（2）設圓的圓心為，則可以轉化所求內積，

，故求求的最大值轉化為求的最大值．N點為定點且坐標已知，故設出P點的坐標且滿足橢圓方程，帶入坐標公式利用二次函數求最值的方法即可求出NP的最值，此外還可以利用參數方程來求解NP的最值.

試題解析：

（1）由題設知，，， 1分

由，得． 2分

解得． 3分

所以橢圓的方程為． 4分

（2）方法1：設圓的圓心為，

則 5分

6分

． 7分

從而求的最大值轉化為求的最大值． 8分

因為是橢圓上的任意一點，設， 9分

所以，即． 10分

因為點，所以． 11分

因為，所以當時，取得最大值12． 13分

所以的最大值為11． 14分

方法2：設點，

因為的中點坐標為，所以 5分

所以 6分

． 8分

因為點在圓上，所以，即． 9分

因為點在橢圓上，所以，即． 10分

所以． 12分

因為，所以當時，． 14分

方法3：①若直線的斜率存在，設的方程為， 5分

由，解得． 6分

因為是橢圓上的任一點，設點，所以，即 7分

所以， 8分

所以． 9分

因為，所以當時，取得最大值11． 11分

②若直線的斜率不存在，此時的方程為，

由，解得或．不妨設，，． 12分

因為是橢圓上的任一點，設點，所以，即．

所以，．

所以．

因為，所以當時，取得最大值11． 13分

綜上可知，的最大值為11． 14分

考點：橢圓 最值 向量內積