Question

橢圓C的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率為1的直L與橢C交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點．
（Ⅰ）若橢圓的離心率e=

3

2

，直線l過點M（b，0），且

OA

•

OB

=-

12

5

，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過橢圓的右焦點F，設向量

OP

=λ（

OA

+

OB

）（λ＞0），若點P在橢C上，λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

3

2

，知a=2b，c=

3

b．由

y=x-b x2+4y2=4b2

，知A(

8b

5

，

3b

5

)，B（0，-b）．再由

OA

•

OB

=-

12

5

能推導出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由

y=x-c b2x2+a2y2=a2b2

，得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，由韋達定理知

OA

+

OB

=(

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

)，

OP

=(

2λa2c

a2+b2

，

-2λb2c

a2+b2

 )．再由點P在橢圓C上，知λ2=

a2+b2

4c2

=

2a2-c2

4c2

=

1

2e2

-

1

4

＞

1

4

，由此能導出λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

3

2

，∴a=2b，c=

3

b．

y=x-b x2+4y2=4b2

，
∴A(

8b

5

，

3b

5

)，B（0，-b）．
∵

OA

•

OB

=-

12

5

，∴-

3b2

5

=-

12

5

，b²=4，a²=16．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．（5分）
（Ⅱ）由

y=x-c b2x2+a2y2=a2b2

，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，
x1+x2 =

2a2c

a2+b2

，y1+y2=

-2b2c

a2+b2

．

OA

+

OB

=(

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

)，

OP

=(

2λa2c

a2+b2

，

-2λb2c

a2+b2

 )．
∵點P在橢圓C上，將點P坐標代入橢圓方程中得λ2=

a2+b2

4c2

．
∵b²+c²=a²，0＜e＜1，
∴λ2=

a2+b2

4c2

=

2a2-c2

4c2

=

1

2e2

-

1

4

＞

1

4

，
∴λ＞

1

2

．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和求實數λ的取值范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．