Question

無窮等差數列{a_n}的各項均為整數，首項為a₁、公差為d，3、21、15是其中的三項，給出下列命題；
①存在滿足條件的數列{a_n}，使得對任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立．
②對任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數列{a_n}中的一項；
③對任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數列{a_n}中的一項；
其中正確命題為

①②

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：首先根據條件得出d≤6，①利用等差數列的前n項和公式化簡S_2n=4S_n，得出結論；②99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假設15和21之間有n項，那么99和21之間有13n項，得出結論；③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數列{a_n}中的一項，得出結論．

解答：解：根據條件等差數列的其中三項：3、15、21，
可以得到一個信息，d≤6；
①如果有S_2n=4S_n，那么由等差數列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+

n(n-1)d

2

]，化簡得到，d=2a₁，
所以只要滿足條件d=2a₁的數列{a_n}，就能使得對任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，
②99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假設15和21之間有n項，那么99和21之間有13n項，所以99一定是數列{a_n}中的一項，正確 
③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數列{a_n}中的一項，錯誤．
正確綜上所述，①②正確
故答案為：①②．

點評：本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式的應用，解題的關鍵是根據條件得出公差．屬于中檔題．