Question

設無窮等差數列{a_n}的前n項和為S_n，求所有的無窮等差數列{a_n}，使得對于一切正整數k都有Sk3=(Sk)3成立．

Answer 1

分析：先由k=1，k=2時，確定首項和公差，再驗證每一組解是否符合題意，從而可以找到符合題意的數列

解答：解：若等差數列{a_n}滿足Sk3=(Sk)3
則當k=1時，有s₁=s₁³，∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1
當k=2時，有s₈=s₂ ³，即8a1+

8×7

2

d=(2a1+d)3
（1）當a₁=0時，代入上式得d=0或d=2

7

或d=-2

7

①當a₁=0，d=0時，a_n=0，S_n=0
滿足Sk3=(Sk)3
此時，數列{a_n}為：0，0，0…
②當a1=0，d=2

7

時，an=2

7

(n-1)，Sn=

2 7 n(n-1)

2

=

7

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
③當a1=0，d=-2

7

時，an=-2

7

(n-1)，Sn=

-2 7 n(n-1)

2

= -

7

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
（2）當a₁=1時，代入上式得d=0或d=2或d=-8
①當a₁=1，d=0時，a_n=1，S_n=n
滿足Sk3=(Sk)3
此時，數列{a_n}為：1，1，1…
②當a₁=1，d=2時，a_n=2n-1，Sn=n2
滿足Sk3=(Sk)3
此時，數列{a_n}為：1，3，5…
③當a₁=1，d=-8時，a_n=-8n+9，S_n=n（5-4n）
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
（3）當a₁=-1時，代入上式得d=0或d=-2或d=8
①當a₁=-1，d=0時，a_n=-1，S_n=-n
滿足Sk3=(Sk)3
此時，數列{a_n}為：-1，-1，-1…
②當a₁=-1，d=-2時，a_n=-2n+1，Sn=-n2
滿足Sk3=(Sk)3
此時，數列{a_n}為：-1，-3，-5…
③當a₁=-1，d=8時，a_n=8n-9，S_n=n（4n-5）
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
∴滿足題意的等差數列{a_n}有：
①0，0，0…
②1，1，1…
③1，3，5…
④-1，-1，-1…
⑤-1，-3，-5…

點評：本題考查等差數列通項公式和前n項和的計算，要注意分類討論．屬中檔題