Question

（1）若f′（x₀）=6，求

lim t→0

f(x0-t)-f(x0)

3t

的值；
（2）若函數f（x）=（x²-x-1）e^-x，求f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據導數的定義即可到達結論，
（2）求函數的導數，利用導數和函數極值之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（1）∵

lim t→0

f(x0-t)-f(x0)

3t

=

lim

t→0

f(x0-t)-f(x0)

-t

×(-

1

3

)=-

1

3

f′（x₀）=6×(-

1

3

)=-2，
（2）∵f（x）=（x²-x-1）e^-x，
∴f'（x）=-x（x-3）e^-x
由f'（x）＞0，解得0＜x＜3，此時函數單調遞增，
由f'（x）＜0，解得x＜0或x＞3，此時函數單調遞減，
即當x=0時，f（x）的極小值為-1，
當x=3時，f（x）的極大值為5e^-3．

點評：本題主要考查導數的定義，以及函數極值的求法，根據導數與極值之間的關系是解決本題的關鍵．