Question

若過點（2，0）的直線與曲線y=x³和y=ax²+7x-4都相切，則a的值為（　�。�

• A．2
• B．

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• C．2或-

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• D．3或

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Answer 1

分析：設出所求切線方程的切點坐標和斜率，把切點坐標代入曲線方程得到一個等式，根據切點坐標和斜率寫出切線的方程，把切點坐標代入又得到一個等式，聯立方程組即可求出切點的橫坐標，進而得到切線的斜率，根據已知點的坐標和求出的斜率寫出切線方程，再根據與y=ax²+7x-4也相切，聯立方程組，△=0可求出所求．

解答：解：設直線與曲線y=x³的切點坐標為（x₀，y₀），
則

y0=x03  y0 x0-2 =3x02

，解得x₀=0或x₀=3
則切線的斜率k=0或k=27，
①若k=0，此時切線的方程為y=0，
由

y=0  y=ax2+7x-4

，
消去y，可得ax²+7x-4=0，
其中△=0，即（7）²+16a=0，
解可得a=-

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；
②若k=27，其切線方程為y=27（x-2），
由

y=27(x-2)  y=ax2+7x-4

，
消去y可得ax²-20x+50=0，
又由△=0，即（20）²-4×50×a=0，
解可得a=2．
故a=-

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或2．
故答案為 C

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據一點坐標和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．