Question

【題目】已知橢圓:經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得，，從而使橢圓方程只含一個(gè)未知數(shù)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程后，求得，進(jìn)而得到橢圓的方程為；

（2）因?yàn)橹本�過(guò)定點(diǎn)，所以只要求出直線的斜率即可，此時(shí)需對(duì)直線的斜率分等于0和不等于0兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，利用得到關(guān)于的方程，并求得.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，

∴，，

所以，橢圓的方程為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，

解得，則，，

因此，橢圓的方程為.

（2）①當(dāng)直線斜率為0時(shí)，與橢圓交于，，而.

此時(shí)，故不符合題意.

②當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程代入橢圓的方程，并化簡(jiǎn)得，

，解得或，

由韋達(dá)定理可得，，

，同理可得，

所以

，即

解得：，符合題意

因此，直線的方程為或.