Question

已知C為圓(x+

2

)2+y2=12的圓心，點(diǎn)A(

2

，0)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡E的方程．
（2）一直線l，原點(diǎn)到l的距離為

3

2

．（i）求證直線l與曲線E必有兩個(gè)交點(diǎn)．
（ii）若直線l與曲線E的兩個(gè)交點(diǎn)分別為G、H，求△OGH的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知，MQ⊥AP，QM是P的中垂線，|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

OP

|=|

CP

|=r=2

3

又|

AC

|=2

2

＜2

3

，
根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q軌跡是以C（-

2

，0），A（

2

，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

3

的橢圓，由此可知點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）（i）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：l：x=±

3

2

，取x=

3

2

代入曲線E的方程得：y=±

3

2

，即G（

3

2

，

3

2

），H（

3

2

，-

3

2

）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，由此入手可知直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)
（ii）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，CH=

3

S

△OGH

=

1

2

|GH|×

3

2

=

1

2

×

3

×

3

2

=

3

4

，當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件可求出△OGH的面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）圓(x+

2

)2+y2=12的圓心為C(-

2

，0)，半徑r=2

3

∵

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

，
∴MQ⊥AP，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，即QM是P的中垂線，連接AQ，則|AQ|=|QP|
∴|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

OP

|=|

CP

|=r=2

3

又|

AC

|=2

2

＜2

3

，
根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q軌跡是以C（-

2

，0），A（

2

，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

3

的橢圓，
由c=

2

，a=

3

，得b2=1，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為

x2

3

+y2=1．

（Ⅱ）（1）證明：當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：l：x=±

3

2

，
不妨取x=

3

2

代入曲線E的方程得：y=±

3

2

即G（

3

2

，

3

2

），H（

3

2

，-

3

2

）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+b
由題意知：

|b|

1+k2

=

3

2

，即b2=

3

4

(1+k2)
由

y=kx+b x3 3 +y2=1

消y得：(2+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0
∵△=36k²b²-4（1+3k²）（3b²-3）=12（3k²-b²+1）=27k²+3＞0
∴直線l與橢圓E交于兩點(diǎn)，綜上，直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)

（2）由（1）知當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，CH=

3

S

△OGH

=

1

2

|GH|×

3

2

=

1

2

×

3

×

3

2

=

3

4

當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由（1）知x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

|GH|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2b2 (1+3k2)2 - 4(3b2-3) 1+3k2 ]

=

27k4+30k2+3 (1+3k2)2

=

3+ 12k2 9k2+6k2+1

=

3+ 12 9k2+ 1 k2 +6

≤

3+ 12 2×3+6

=2(k≠0)

當(dāng)且僅當(dāng)9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

，則取得“=”，
∴S△OGH=

1

2

×

3

2

|GH|≤

1

2

×

3

2

×2=

3

2

當(dāng)k=0時(shí)，|GH|=

3

，S△OGH=

3

4

．
綜上，△OGH的面積的最小值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的直線與圓錐問(wèn)題的綜合問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．