Question

已知函數(shù)f（x）=arcsin（x-x²）；
（1）求f（x）的定義域；
（2）寫出函數(shù)f（x）的值域；
（3）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）設t=x-x²，根據(jù)反正弦函數(shù)的定義域解關于x的不等式-1≤x-x²≤1，即可得出f（x）的定義域；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質，得t=x-x²在x∈[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]時有最大值

1

4

、最小值-1．由此利用反正弦函數(shù)的單調性，可得f（x）的最大值和最小值，從而得出函數(shù)f（x）的值域；
（3）根據(jù)二次函數(shù)t=x-x²在x∈[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]上的單調性和反正弦函數(shù)y=arcsint的單調性，利用復合函數(shù)單調性的法則，可得函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間．

解答：解：設t=x-x²，
（1）∵反正弦函數(shù)y=arcsint的定義域為[-1，1]，
∴解不等式-1≤x-x²≤1，得

1- 5

2

≤x≤

1+ 5

2

．
因此，f（x）的定義域為[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]．
（2）∵t=x-x²，x∈[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]．
∴配方得t=-（x-

1

2

）²+

1

4

，
可得當x=

1

2

時，t有最大值

1

4

；當x=

1- 5

2

或

1+ 5

2

時，t有最小值-1．
∵反正弦函數(shù)y=arcsint，在t∈[-1，

1

4

]時為增函數(shù)
∴f（x）=arcsin（x-x²）的最小值為arcsin-1=-

π

2

，最大值為arcsin

1

4

．
因此，函數(shù)f（x）的值域為[-

π

2

，arcsin

1

4

]．
（3）由（2）的結論，得t=x-x²=-（x-

1

2

）²+

1

4

，在x∈[

1- 5

2

，

1

2

]時為增函數(shù)
又∵反正弦函數(shù)y=arcsint在其定義域上為增函數(shù)，
∴由復合函數(shù)單調性法則，可得f（x）=arcsin（x-x²）的增區(qū)間為[

1- 5

2

，

1

2

]．

點評：本題著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質、反三角函數(shù)的定義域與值域、復合函數(shù)的單調性判斷和不等式的解法等知識，屬于中檔題．