Question

已知y＝f(x)滿足f(n－1)＝f(n)－lg a^n－1(n≥2，n∈N)且f(1)＝－lg a，是否存在實數α，β，使f(n)＝(αn²＋βn－1)·lg a對任何n∈N^*都成立，證明你的結論

Answer 1

∵f(n)＝f(n－1)＋lg a^n－1，
令n＝2，則f(2)＝f(1)＋lg a＝－lg a＋lg a＝0.
又f(1)＝－lg a，
∴，∴.
∴f(n)＝lg a.
現證明如下：(1)當n＝1時，顯然成立．
(2)假設n＝k(k∈N^*，且k≥1)時成立，
即f(k)＝lg a，
則n＝k＋1時，
f(k＋1)＝f(k)＋lg a^k＝f(k)＋klg a
＝lg a
＝lg a.
則當n＝k＋1時，等式成立．
綜合(1)(2)可知，存在實數α、β且α＝，β＝－，使
f(n)＝(αn²＋βn－1)lg a對任意n∈N_＋都成立

略