Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA=BC（a＞0），
(Ⅰ)當a=1時，求證：BD⊥PC；
(Ⅱ)若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角A-PD-Q的余弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ)當a=1時，底面ABCD為正方形， ∴BD⊥AC， 又因為BD⊥PA， ∴BD⊥面PAC， 又， ∴BD⊥PC。
(Ⅱ) 因為兩兩垂直， 分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標系， 如圖所示，令AB=1，可得BC=a， 則， 設BQ=m，則， 要使PQ⊥QD， 只要， 即， 由，此時m=1， 所以BC邊上有且只有一個點Q， 使得PQ⊥QD時，Q為BC的中點，且a=2， 設面PQD的法向量， 則， 解得， 取平面PAD的法向量， 則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等， 所以， 因此二面角A-PD-Q的余弦值為。