Question

【題目】已知分別是正四面體的棱上的點，且，若，,則四面體的體積是_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意畫出圖形，設PD=x，PE=y，PF=z，由余弦定理得到關于x，y，z的方程組，求解可得x，y，z的值，然后分別求出三角形PDE的面積及F到平面PDE的高，代入棱錐體積公式得答案．

如圖，

設PD=x，PE=y，PF=z，則

∵DE=2，DF=EF=，

∴由余弦定理得，x2+y2﹣2xy=4①

y2+z2﹣2yz=7②

z2+x2﹣2zx=7③

③﹣②得，x2﹣y2=xz﹣yz，

即（x+y）（x﹣y）=z（x﹣y），

∵x≠y，則z=x+y，

代入②，得x2+y2+xy=7，

又x2+y2﹣xy=4，不妨設x＞y，

解得，x=，y=，z=．

則=，

F到平面PDE的距離d=．

∴VP﹣DEF=．

故答案為：．