Question

某工廠生產某種產品，每日的成本C（單位：元）與日產里x（單位：噸）滿足函數關系式C=10000+20x，每日的銷售額R（單位：元）與日產量x滿足函數關系式
R=

- 1 30 x3+ax2 +290x，0＜x＜120 20400，x＞120

已知每日的利潤y=R-C，且當x=30時y=-100．
（I）求a的值；
（II）當日產量為多少噸時，毎日的利潤可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）根據每日的利潤y=R-C建立函數關系式，然后根據當x=30時y=-100可求出a的值；
（II）當0＜x＜120時，利用導數研究函數的單調性，從而求出函數的最大值，當x≥120時，根據一次函數的單調性求出最大值，比較可求出所求．

解答：解：（I）由題意可得：y=

- 1 30 x3+ax2 +270x-10000，0＜x＜120 10400-20x，x≥120

∵當x=30時y=-100
∴-100=-

1

30

×30³+a×30²+270×30-10000
解得 a=3
（II）當0＜x＜120時，y=-

1

30

×x³+3x²+270x-10000
y′=-

1

10

x²+6x+270
由y′=-

1

10

x²+6x+270=0可得：x=90或x=-30（舍）
所以當x∈（0，90）時，原函數是增函數，當x∈（90，120）時，原函數是減函數
所以當x=90時，y取最大值14300
當x≥120時，y=10400-20x≤8000
所以當日產量為90噸時，每日的利潤可以達到最大值14300元．

點評：本題主要考查了分段函數的最值，以及利用導數研究函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．