Question

某工廠生產某種產品，已知該產品的產量x（噸）與每噸產品的價格P（元/噸）之間的關系為P=24200-

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x2，且生產x噸的成本為R=50000+200x元．問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？（利潤=收入-成本）

Answer 1

分析：將實際問題轉化成數學最值問題，利用導數求最值

解答：解：設生產x噸產品，利潤為y元，
則y=px-R=(24200-

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x2)x-（50000+200x）
=-

1

5

x3+24000x-50000（x＞0）
y′=-

3

5

x2+24000，
由y'=0，得x=200
∵0＜x＜200時y'＞0，當x≥200時y'＜0
∴當x=200時，y_max=3150000（元）
答：該廠每月生產200噸產品才能使利潤達到最大，最大利潤是3150000（元）

點評：本題考查建立數學模型，三次函數的最值用導數來求．