Question

已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(Ⅰ) 求拋物線的方程；
(Ⅱ) 當點為直線上的定點時,求直線的方程；
(Ⅲ) 當點在直線上移動時,求的最小值.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)  (Ⅲ)

(Ⅰ) 依題意,設拋物線的方程為,由結合,
解得. 所以拋物線的方程為.
(Ⅱ) 拋物線的方程為,即,求導得
設,(其中),則切線的斜率分別為,,
所以切線的方程為,即,即
同理可得切線的方程為
因為切線均過點,所以,
所以為方程的兩組解.
所以直線的方程為.
(Ⅲ) 由拋物線定義可知,,
所以
聯立方程,消去整理得
由一元二次方程根與系數的關系可得,
所以
又點在直線上,所以,
所以
所以當時, 取得最小值,且最小值為.
(1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯立，借助韋達定理和拋物線定義將進行轉化處理，通過參數的消減得到函數關系式是解題的關鍵，然后利用二次函數求最值，需注意變量的范圍.
【考點定位】本題考查拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關系，考查學生的分析問題的能力和轉化能力、計算能力.