Question

已知α，β是三次函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的兩個極值點，且α∈（0，1），β∈（1，2），則

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  4

  ，1)
• B、(

  1

  2

  ，1)
• C、(-

  1

  2

  ，

  1

  4

  )
• D、(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由已知中α，β是三次函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的兩個極值點，且α∈（0，1），β∈（1，2），我們易得f′（x）=x²+ax+2b的兩個零點分別在區間（0，1）和（1，2）上，由零點存在定理，我們易構造關于a，b的不等式組，將問題轉化為一個線性規劃問題，分析

b-2

a-1

的幾何意義，即可根據數形結合求出答案．

解答：解：∵函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx
∴f′（x）=x²+ax+2b
又∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

其對應的平面區域如下圖所示：
由圖可得：當x=-3，y=1時，

b-2

a-1

取最小值

1

4

；
當x=-1，y=0時，

b-2

a-1

取最大值1；
故選A

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，其中根據函數在某點取得極值的條件，將問題轉化為函數的零點問題，再根據零點存在定理，將問題轉化為線性規劃問題是解答本題的關鍵．