Question

已知f（x）是三次函數，g（x）是一次函數，且f（x）-

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2

g（x）=-x³+2x²+3x+7，f（x）在x=1處有極值2，求f（x）的解析式和單調區間．

Answer 1

分析：三次函數f（x）=x³+2x²+cx+d在x=1時取極值2，說明f′（1）=0及f（1）=2，求出c，d值，即可求出f（x）的解析式，在求出導數，分別令導數大于或小于0，解出不等式即可得到函數的單調區間．

解答：解：由于f（x）是三次函數，g（x）是一次函數，且f（x）-

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g（x）=-x³+2x²+3x+7，
則可設f（x）=-x³+2x²+cx+d，
故有 f′（x）=-3x²+4x+c，
由題意知f′（1）=0，則-3+4+c=0，∴c=-1  
 又f（1）=2，∴d=2
∴f（x）=-x³+2x²-x+2   
則 f′（x）=-3x²+4x-1，
由f′（x）＞0得到

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3

＜x＜1；
由f′（x）＜0得到x∈（-∞，

1

3

）∪（1，+∞） 
∴函數f（x）的單調遞增區間為（

1

3

，1），單調遞減區間為（-∞，

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3

）及（1，+∞）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，著重考查導數與單調性間的關系及應用，屬于中檔題．