Question

2010年11月在廣州召開亞運會，某小商品公司開發一種亞運會紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件，通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含量提高，市場分析的結果表明：如果產品的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²，記改進工藝后，該公司銷售紀念品的月平均利潤是y（元）．
（1）寫出y與x的函數關系式；
（2）改進工藝后，確定該紀念品的售價，使該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大．

Answer 1

解：（1）改進工藝后，每件產品的銷售價為20（1+x）元，月平均銷售a（1-x²）件，
則月平均利潤y=a（1-x²）[20（1+x）-15]=5a（1+4x-x²-4x³）（0＜x＜1）；
（2）求導數可得，y′=5a（4-2x-12x²）（0＜x＜1）
令y′=0可得x=或x=-（舍去）
當0＜x＜時，y′＞0；當＜x＜1時，y′＜0，
∴x=時，函數取得極大值，且為最大值，最大值為
∴改進工藝后，紀念品的售價為20（1+）=30，該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大為．
分析：（1）確定改進工藝后，每件產品的銷售價，月平均銷售，可得月平均利潤函數；
（2）求導函數，確定函數的極值，可得最值，即可得到結論．
點評：本題考查函數模型的構建，考查利用數學知識解決實際問題，確立函數模型是關鍵．