Question

（本小題滿分14分）設函數的定義域是R，對于任意實數，恒有，且當 時，．
（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求證：，且當時，有；
（Ⅲ）判斷在R上的單調性，并加以證明.

Answer 1

解：（Ⅰ）令m=n=1得f(2)=f(1)f(1)=，               2分
∴．                                            4分
（Ⅱ），
令，則，且當時，，
∴；                                                    6分
設，，
∴，∴．                         9分
（Ⅲ）在R上任取x₁，x₂，使得，
則，∴，
∴

∵當x>0時，0<f(x)<1；當x=0時，f(x)=1>0；當x<0時，f(x) >1
∴對任意x∈R，有f(x) >0，∴f(x₁)>0
∵0<f(x₂-x₁)<1  ∴f(x₂-x₁)-1<0
∴f(x₂)-f(x₁)<0，即f(x₁)>f(x₂)
∴在R上是單調遞減．                                    14分

略