Question

設橢圓+=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁(－2,0),左準線l₁與x軸交于點N(－3,0),過點N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點.
(1)求直線l和橢圓的方程；
(2)求證:點F₁(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

Answer 1

(1)橢圓方程為+=1.
(2)見解析

可知直線l:y=(x+3).
由c=2及=3,解得a²=6,
∴b²=6－2²=2.∴橢圓方程為+=1.
(2)證明:聯立方程組       
將②代入①,整理得2x²+6x+3=0.
設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁+x₂=－3,x₁x₂=.
方法一:k·k=·=
===－1,
∴F₁A⊥F₁B,即∠AF₁B=90°.
∴點F₁(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
方法二:·=(x₁+2,y₁)·(x₂+2,y₂)=(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂
=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+［x₁x₂+3(x₁+x₂)+9］
=x₁x₂+3(x₁+x₂)+7=0,
∴F₁A⊥F₁B,則∠AF₁B=90°.
∴點F₁(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.