Question

已知直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圓C：x²+y²-2x-4y-20=0．
（1）求證：直線L過定點；
（2）求直線L被圓C截得的線段最小長度，并求此時對應的m的值．

Answer 1

分析：（1）直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，顯然過直線2x+y-7=0 及直線x+y-4=0的交點A，由

2x+y-7=0 x+y-4= 0

解得交點A的坐標．
（2）把 圓C的方程化為標準形式，求出圓心C的坐標和半徑，要使直線L被圓C截得的線段長度最小，需心C到直線L的距離d最大，d的最大為CA線段的長度．此時，CA和直線L垂直，
斜率之積等于-1，解方程求得m的值．

解答：解：（1）直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，顯然過直線2x+y-7=0 及直線x+y-4=0的交點A．
由

2x+y-7=0 x+y-4= 0

 解得交點A的坐標為（3，1），
故直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0經過定點A（3，1）．
（2）圓C：x²+y²-2x-4y-20=0 即 （x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）為圓心，以5為半徑的圓．
設圓心C到直線L的距離為d，要使直線L被圓C截得的線段長度最小，需d最大．由題意可知，d的最大為CA線段的長度．
由兩點間的距離公式可得 CA=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

．
此時，CA和直線L垂直，斜率之積等于-1，
∴

1-2

3-1

•（-

2m+1

m+1

）=-1，解得 m=-

3

4

．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓的位置關系的應用，判斷圓心C到直線L的距離d的最大為CA線段的長度，是解題的關鍵．