Question

【題目】“城市呼喚綠化”，發(fā)展園林綠化事業(yè)是促進(jìn)國(guó)家經(jīng)濟(jì)法陣和城市建設(shè)事業(yè)的重要組成部分，某城市響應(yīng)城市綠化的號(hào)召，計(jì)劃建一如圖所示的三角形ABC形狀的主題公園，其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻BC，長(zhǎng)度為100 米，另外兩邊AB，AC使用某種新型材料圍成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y單位均為米）．

（1）求x，y滿足的關(guān)系式（指出x，y的取值范圍）；
（2）在保證圍成的是三角形公園的情況下，如何設(shè)計(jì)能使所用的新型材料總長(zhǎng)度最短？最短長(zhǎng)度是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2ABACcosA=BC2，

所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，

即x2+y2+xy=30000，

又因?yàn)閤＞0，y＞0，所以

（2）解：要使所用的新型材料總長(zhǎng)度最短只需x+y的最小，

由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，

因?yàn)? ，所以 ，

則（x+y）2≤40000，即x+y≤200，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)，上式不等式成立．

故當(dāng)AB，AC邊長(zhǎng)均為100米時(shí)，所用材料長(zhǎng)度最短為200米

【解析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理可得x2+y2﹣2xycos120°=30000，變形可得x2+y2+xy=30000，分析x、y的取值范圍即可得答案；（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，對(duì)其變形可得（x+y）2﹣30000=xy，結(jié)合基本不等式可得 ，解可得x+y≤200，分析可得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”；余弦定理:;;才能正確解答此題．